--- "Existe-t-il des vérités définitives ?" -- Cinquième heure.

(3) L'arbitraire des fondements de la déduction.

Nous avons donc trouvé dans la démarche déductive la condition de l'élaboration de vérités définitives, la déduction permettant de progresser de vérités simples en vérités complexes sans que ce qui est affirmé puisse être mis en doute ou remis en cause : de ne rien affirmé qui ne soit universel et nécessaire. Mais tout cela repose sur un présupposé bien précis et que nous avons admis sans discussion : ce qui est saisi par intuition est une vérité première et définitive. Or c'est-là quelque chose de tout à fait discutable ! Et si à la base de tout système déductif il n'y avait pas des objets intelligibles, considérés par la raison comme l'essence même de la réalité, mais de simples règles de construction totalement arbitraires... Dans ce cas, les principes que pose le géomètres (comme les définitions ou des postulats) ne nous disent rien du réel : elles ne font qu'exprimer une opération. Ainsi, la définition de ligne, que nous propose Euclide, ne renvoie finalement qu'à un "geste", celui de "tracer" une intersection potentiellement infini entre deux surfaces. Jamais elles ne portent sur les réalités à partir desquelles opère notre géomètre à savoir l'espace, le mouvement et la quantité : ces trois notions si fondamentales restent toujours implicites... Dans ce cas on peut se demander si le système déductif que propose ce géomètre nous donne une description définitive des propriétés de l'espace !

C'est justement cette question qui est tranchée par le développement des "géométries non-euclidiennes" qui proposent des principes premiers qui vont totalement à l'encontre de l'intuition. Il suffit donc de changer les règles de construction pour produire un ensemble de théorèmes en totale contradiction avec ceux qui ont été admis, jusque là, comme définitifs. S'il est, en effet, possible de développer une géométrie non-euclidienne en se fondant sur des principes premiers allant à l'encontre de ce que nous considérons comme des vérités intuitives, alors force nous sera d'admettre que le système déductif que nous propos Euclide ne nous donne plus une vérité "définitive" à propos de l'espace. Prenons comme exemple un théorème bien connu de la géométrie euclidienne : "le triangle est une figure composée de trois droites qui se coupent deux en deux et dont la somme des trois angles est égale à 180°". Peut-on concevoir un système dans lequel des propositions contradictoires comme "le triangle est une figure (...) dont la somme des trois angles est toujours supérieure à 180°"ou "le triangle est une figure (...) dont la somme des trois angle est toujours inférieure à 180°" sont vraies ! Si les théorèmes d'Euclide sont des vérités définitives, alors ces deux propositions devraient être impossibles. Or il n'en est rien ! Et pour preuve : le grand mathématicien allemand B. Riemann, en 1854, crée une géométrie dans laquelle il n'est plus possible d'utiliser une droite pour mesurer la distance entre deux points ; il donne son nom à un nouvel espace (espace de Riemann) dans lequel "le plus court chemin entre deux points" n'est plus la ligne droite mais la courbe. Or pour parvenir à un tel résultat il propose justement de remplacer le cinquième postulat, portant sur l'unicité des parallèles, par un nouveau postulat, celui de "l'impossibilité de mener, par un point extérieur à une droite donnée, une parallèle à cette droite". On a bien, ici un point de départ totalement arbitraire, qui peut même vous sembler fantaisiste... En tout cas que l'on peut raisonnablement qualifier de "contre-intuitif". Mais à partir d'un tel principe on n'aboutit non pas à des absurdités, mais à un nouveau système déductif extrêmement, avec ses propres théorèmes, permettant de construire un espace dans lequel "le plus court chemin entre deux point est un cercle ayant pour centre le centre d'une sphère sur lequel les point sont tracés" et dans lequel "la somme des trois angle d'un triangle est toujours supérieur à 180°". Des principes différents produiront des conséquences tout autres mais tout aussi rigoureuses !

Mais on pourrait encore se demander lequel des deux dit vrai ! Si l'on compare les systèmes d'Euclide et de Riemann, nous voyons qu'ils produisent des théorèmes qui sont incompatibles entre eux, mais qui sont à chaque fois parfaitement vrais ! Car ce qui fonde la vérité d'un théorème - nous l'avons vu plus précédemment - ce n'est pas le fait qu'il nous renseigne sur une réalité quelconque (qu'il est une vérité de fait) mais son intégration à un système déductif qui lui procure son caractère nécessaire ! Bref qu'il est un élément d'une AXIOMATIQUE. Par ce terme il faut entendre, justement, un système déductif construit sur des principes premiers (axiomes) arbitraires, sur des conventions élaborées par le mathématicien pour répondre, avec un maximum de rigueur, à un problème ! Dans une axiomatique il n'est pas indispensable de tenir les "axiomes" pour absolument vrais, il suffit qu'ils permettent, à titre d'hypothèses, de tirer un maximum de conséquences, de construire un maximum d'objets ! Peut importe si les fondements ne sont pas considérés comme nécessaires, du moment qu'ils sont féconds ! Refusant de poser ses principes premiers comme "catégoriques" (vérités intuitives) sa démarche devient hypothético-déductive. Pour résumer l'esprit de l'axiomatique, on peut retenir cette formule du philosophe Wittgenstein : "Si le vrai est ce qui est fondé, le fondement n'est ni vrai ni faux"*.

Il n'y a donc pas un système rationnel unique dévoilant la vérité définitive à propos d'un objet d'étude (par exemple, l'espace géométrique) mais des systèmes MULTIPLES produisant chacun des propositions incompatibles avec celles des autres systèmes. Il n'y a donc de vérités définitives qu'à l'intérieur d'un système donné : Dans un espace euclidien, il est définitivement établi que la somme des trois angles d'un triangle est égale à 180°... Mais en aucun cas dans l'absolu ! Autrement dit, ce n'est pas parce qu'un savoir est universel et nécessaire (démontré dans un système rigoureux) qu'il est forcément UN et définitif. L'étude d'un objet, quel qu'il soit, peut donner naissance à une pluralité de système, tous parfaitement cohérents mais s'ils produisent des conclusions contradictoires ! N'est-ce pas le cas pour les thèses philosophiques qui jalonnent l'histoire et qui, su un sujet donné, semble toutes en concurrence ? La multiplicité de points de vue qu'elles expriment ne doit pas nous conduire à les mettre au même rang que l'opinion** (sous prétexte que le savoir serait "un" et les opinions "multiples") mais à reconnaître que le SAVOIR d'un même objet : l'existence humaine - et non plus de l'espace géométrique - se déploie sous une infinité de facettes !

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* Peut-on encore parler de vérité ? Oui, si l'on prend soin de distinguer une "vérité formelle" d'une "vérité matérielle". La première est la conséquence nécessaire d'un principe, même si son contenu n'a aucun rapport avec le réel. Elle résulte de la seule adéquation de la pense avec elle-même... Le vrai est ici le produit d'un cheminement conséquent, rigoureux. La seconde est une proposition dont le contenu nous renseigne sur une chose donnée dans l'expérience. Le vrai signifie ici l'adéquation de la pensée avec la réalité. Les deux termes peuvent s'appliquer à un théorème de la géométrie euclidienne...

** Comme le dit très bien Hegel "On constate tout de suite chez un homme le défaut de culture élémentaire, lorsqu'il parle d'opinion philosophie"